Soit \(r\) le rang de \(H\). Il existe deux matrices carrées inversibles \(P\) et \(Q\) de format \(n\) telles que \(H =PJ_rQ\) où \(J_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)\). L’égalité \(HAH =\lambda_AH\) s’écrit après simplifications \(J_rQAPJ_r=\lambda_AJ_r\). Maintenant , quand \(A\) décrit \(\mathcal{M}_n(\Kk)\), la matrice \(B=QAP\) décrit également \(\mathcal{M}_n(\Kk)\) (par exemple, l’application qui à \(A\) associe \(QAP\) est une permutation de \(\mathcal{M}_n(\Kk)\) de réciproque l’application qui à \(A\) associe \(Q^{-1}AP^{-1}\)).

L’énoncé s’écrit maintenant de manière plus simple : montrons que \((\forall B\in\mathcal{M}_n(\Kk),\;\exists\lambda_B\in\Kk/\;J_rBJ_r =\lambda_BJ_r)\Rightarrow r\leqslant 1\).

Un calcul par blocs fournit en posant \(B=\left( \begin{array}{cc} B_1&B_3\\ B_2&B_4 \end{array} \right)\)

\(J_rBJ_r=\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} B_1&B_3\\ B_2&B_4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} B_1&0\\ B_2&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} I_r&0\\ 0&0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} B_1&0\\ 0&0 \end{array} \right)\)

Mais si \(r\geqslant 2\), il existe des matrices carrées \(B_1\) de format \(r\) qui ne sont pas des matrices scalaires et donc telles que \(B_1\) n’est pas colinéaire à \(I_r\). Donc \(r\leqslant 1\).

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