Soit \(\theta\in\Rr\).

\[1-\cos\theta+i\sin\theta=0\Leftrightarrow\cos\theta=1\;\mbox{et}\;\sin\theta=0\Leftrightarrow\theta\in0+2\pi\Zz.\] Donc, \(\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}\) existe pour \(\theta\notin 2\pi\Zz\). Pour un tel \(\theta\),

\[\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=\frac{2\cos^2\frac{\theta}{2}-2i\sin\frac{\theta}{2}\cos \frac{\theta}{2}}{2\sin^2\frac{\theta}{2}+2i\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}} =\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\frac{\cos(\theta/2)-i\sin(\theta/2)}{\sin(\theta/2)+i\cos(\theta/2)} =\frac{\cos\frac{\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\frac{e^{-i\theta/2}}{e^{i(\pi-\theta)/2}}=-i\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right).\] - 1er cas. \(\cotan\frac{\theta}{2}>0\Leftrightarrow\frac{\theta}{2}\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi[\Leftrightarrow\theta\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]2k\pi,\pi+2k\pi[\). Dans ce cas, la forme trigonométrique de \(\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}\) est \(\cotan(\frac{\theta}{2})e^{-i\pi/2}\) (module\(=\cotan(\frac{\theta}{2})\) et argument\(=-\frac{\pi}{2}\;(2\pi)\)).

\[\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=\left[\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right),-\frac{\pi}{2}\right].\] - 2ème cas. \(\cotan\frac{\theta}{2}<0\Leftrightarrow\theta\in \displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]\pi+2k\pi,2(k+1)\pi[\). Dans ce cas,

\[\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=-\cotan(\frac{\theta}{2}).e^{i\pi/2} =|\cotan(\frac{\theta}{2})|e^{i\pi/2},\] et donc,

\[\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=\left[-\cotan\left(\frac{\theta}{2}\right),\frac{\pi}{2}\right].\] - 3ème cas. \(\cotan\frac{\theta}{2}=0\Leftrightarrow\theta\in\pi+2\pi\Zz\). Dans ce cas, on a \(\frac{1+\cos\theta-i\sin\theta}{1-\cos\theta+i\sin\theta}=0\). Pour \(\theta\notin2\pi\Zz\), on a

\[\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=\frac{e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}+e^{i\theta/2})}{e^{i\theta/2}(e^{-i\theta/2}- e^{i\theta/2})}=\frac{2\cos\frac{\theta}{2}}{-2i\sin\frac{\theta}{2}}=i\cotan\frac{\theta}{2}.\] Si \(\theta\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]2k\pi,\pi+2k\pi[\), \(\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=[\cotan\frac{\theta}{2},\frac{\pi}{2}]\). Si \(\theta\in\displaystyle\bigcup_{k\in\Zz}]\pi+2k\pi,2(k+1)\pi[\), \(\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=[-\cotan\frac{\theta}{2},-\frac{\pi}{2}]\). Si \(\theta\in\pi+2\pi\Zz\), \(\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}=0\).

exo7 5129