Si la similitude est directe, son angle est \(\pi/2\), donc la similitude s’écrit \(z\mapsto 2i z+ b\) en coordonnée complexe. Comme \(s(2)=i\), on en déduit que \(4i+b=i\) c’est-à-dire \(b=-3i\).

Le point fixe a alors pour affixe \(\dfrac{b}{1-2i} = \dfrac{-3i}{1-2i} = \dfrac{6-3i}{5}\).

La similitude indirecte est obtenue en composant la similitude directe précédente par la symétrie d’axe passant par \(i\) et \(3i\), c’est-à-dire l’axe des ordonnées. Cette symétrie s’écrit \(z\mapsto -\bar z\). On en déduit que la similitude indirecte envoyant les points d’affixes \(2\) et \(3\) sur ceux d’affixes \(i\) et \(3i\) s’écrit \[z\mapsto -\overline{(2iz-3i)} = 2i\bar z-3i.\] (Alternativement, et sans utiliser la question précédente, on sait d’après l’énoncé que la similitude indirecte doit s’écrire \(z\mapsto 2i \overline z + b\), et comme \(s(2)=i\), on en déduit bien \(i = 4i+b\) d’où \(b=-3i\).)

Cette similitude possède un unique point fixe d’affixe \(\omega\), solution de l’équation \(\omega = 2i\bar\omega -3i\).

On remarque que \(\omega\) est donc aussi l’unique point fixe de \(s\circ s\), ce qui donne l’équation \(\omega = 2i\overline{(2i\bar \omega-3i)} -3i = 4\omega-6-3i\) d’où \(\omega = 2+i\).

Finalement, comme on sait que l’axe est dirigé par le vecteur d’affixe \(1+i\) et que cet axe passe par le centre de la similitude, cet axe est la droite d’équation \(y=x-1\)

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