Pour montrer l’égalité \(\ker f \cap \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits f = f(\ker f^2)\), nous montrons la double inclusion.

Soit \(y\in \ker f \cap \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits f\), alors \(f(y) = 0\) et il existe \(x\) tel que \(y=f(x)\). De plus \(f^2(x) = f(f(x))=f(y) =0\) donc \(x\in \ker f^2\). Comme \(y = f(x)\) alors \(y \in f(\ker f^2)\). Donc \(\ker f \cap \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits f \subset f(\ker f^2)\).

Pour l’autre inclusion, nous avons déjà que \(f(\ker f^2) \subset f(E) = \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits f\). De plus \(f(\ker f^2) \subset \ker f\), car si \(y\in f(\ker f^2)\) il existe \(x\in \ker f^2\) tel que \(y=f(x)\), et \(f^2(x) = 0\) implique \(f(y)=0\) donc \(y\in \ker f\). Par conséquent \(f(\ker f^2) \subset \ker f \cap \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits f\).

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