Trouvons un polynôme scindé à racines simples annulant \(f\).

Le polynôme \(P =X(X-\lambda)(X-\mu) = X^3 - (\lambda+\mu)X^2 +\lambda\mu X\) est annulateur de \(f\). En effet,

\[\begin{align*}\ensuremath P(f)&=f^3 -(\lambda+\mu)f^2 +\lambda\mu f = (\lambda^3 - (\lambda+\mu)\lambda^2 +(\lambda\mu)\lambda)u + (\mu^3 - (\lambda+\mu)\mu^2 +(\lambda\mu)\mu)v\\ &= P(\lambda)u + P(\mu)v=0 . \end{align*}\]

Si \(\lambda\) et \(\mu\) sont distincts et non nuls, \(P\) est un polynôme scindé à racines simples annulateur de \(f\) et donc \(f\) est diagonalisable.

Si \(\lambda=\mu=0\), alors \(f=0\) et donc \(f\) est diagonalisable.

Si par exemple \(\lambda\neq0\) et \(\mu=0\), \(f^2 =\lambda^2u =\lambda f\) et et le polynôme \(P=X(X-\lambda)\) est scindé à racines simples et annulateur de \(f\). Dans ce cas aussi \(f\) est diagonalisable.

Enfin si \(\lambda=\mu\neq0\), \(f^2 =\lambda^2(u+v) =\lambda f\) et de nouveau \(P=X(X-\lambda)\) est scindé à racines simples et annulateur de \(f\).

Dans tous les cas, \(f\) est diagonalisable.

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