Pour \(n\in\Nn\), posons \(u_n=\sin\left(\pi(2+\sqrt{3})^n\right)\). D’après la formule du binôme de Newton, \((2+\sqrt{3})^n=A_n +B_n\sqrt{3}\) où \(A_n\) et \(B_n\) sont des entiers naturels. Un calcul conjugué fournit aussi \((2-\sqrt{3})^n=A_n-B_n\sqrt{3}\). Par suite, \((2+\sqrt{3})^n+(2-\sqrt{3})^n= 2A_n\) est un entier pair. Par suite, pour \(n\in\Nn\),

\(u_n =\sin\left(2A_n\pi-\pi(2-\sqrt{3})^n\right)=-\sin\left(\pi(2-\sqrt{3})^n\right)\).

Mais \(0< 2-\sqrt{3}< 1\) et donc \((2-\sqrt{3})^n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}0\). On en déduit que \(|u_n|\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\pi(2-\sqrt{3})^n\) terme général d’une série géométrique convergente. Donc la série de terme général \(u_n\) converge.

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