Soit \(X\in\mathcal{M}_3(\Rr)\). Si \(X^2 = A\) alors \(AX= X^3 = XA\) et donc \(X\) et \(A\) commutent.

\(A\) admet trois valeurs propres réelles et simples à savoir \(1\), \(3\) et \(4\). Donc \(A\) est diagonalisable dans \(\Rr\) et les sous espaces propres de \(A\) sont des droites. \(X\) commute avec \(A\) et donc laisse stable les trois droites propres de \(A\).

Ainsi une base de \(\mathcal{M}_{3,1}(\Rr)\) formée de vecteurs propres de \(A\) est également une base de vecteurs propres de \(X\) ou encore, si \(P\) est une matrice réelle inversible telle que \(P^{-1}AP\) soit une matrice diagonale \(D_0\) alors pour la même matrice \(P\), \(P^{-1}XP\) est une matrice diagonale \(D\). De plus

\(X^2 =A\Leftrightarrow PD^2P^{-1}= PD_0P^{-1}\Leftrightarrow D^2 = D_0\Leftrightarrow D =\text{diag}(\pm\sqrt{3},\pm2, \pm1)\)

ce qui fournit huit solutions deux à opposées. On peut prendre \(P=\left( \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ -16&1&0\\ 5&0&1 \end{array} \right)\) puis \(P^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 8&1&0\\ -5/2&0&1 \end{array} \right)\). D’où les solutions

\[\begin{align*}\ensuremath \left( \begin{array}{ccc} 2&0&0\\ -16&1&0\\ 5&0&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3}\varepsilon_1&0&0\\ 0&2\varepsilon&0\\ 0&0&\varepsilon_3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 8&1&0\\ -5/2&0&1 \end{array} \right)&=\left( \begin{array}{ccc} 2\sqrt{3}\varepsilon_1&0&0\\ -16\sqrt{3}\varepsilon_1&2\varepsilon_2&0\\ 5\sqrt{3}\varepsilon_1&0&\varepsilon_3 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} 1/2&0&0\\ 8&1&0\\ -5/2&0&1 \end{array} \right)\\ &=\left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3}\varepsilon_1&0&0\\ -8\sqrt{3}\varepsilon_1+16\varepsilon_2&2\varepsilon_2&0\\ 5(\sqrt{3}\varepsilon_1-\varepsilon_3)/2&0&\varepsilon_3 \end{array} \right). \end{align*}\]

où \((\varepsilon_1, \varepsilon_2,\varepsilon_3)\in\{-1,1\}^3\).

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