Cas de la boule fermée. Soit \(B=\{u\in E/\;\|u\|\leqslant 1\}\). Soient \((x,y)\in B^2\) et \(\lambda\in[0,1]\).

\(\|\lambda x+(1-\lambda)y\|\leqslant \lambda\|x\| + (1-\lambda)\|y\|\leqslant\lambda+1-\lambda= 1\).

Ainsi, \(\forall(x,y)\in B^2\), \(\forall\lambda\in[0,1]\), \(\lambda x+(1-\lambda)y\in B\) et donc \(B\) est convexe.

Cas de la boule ouverte. Soit \(B=\{u\in E/\;\|u\|< 1\}\). Soient \((x,y)\in B^2\) et \(\lambda\in[0,1]\).

Puisque \(0\leqslant \lambda\leqslant 1\) et \(0\leqslant\|x\|<1\), on en déduit que \(\lambda\|x\|<1\). Comme \((1-\lambda)\|y\|\leqslant1\) (et même \(<1\)) et donc

\(\|\lambda x+(1-\lambda)y\|\leqslant \lambda\|x\| + (1-\lambda)\|y\|<1\).

La boule unité fermée (ou ouverte) de l’espace vectoriel normé \((E,\|\;\|)\) est un convexe de l’espace vectoriel \(E\).

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