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Soit \(\mathcal{B}=(e_{1},\ldots,e_{n})\) une base orthogonal d’un espace euclidien \(E\). On dit qu’un endomorphisme \(f\) de \(E\) conserve l’orthogonalité de \(\mathcal{B}\) si et seulement si \((f(e_{1}),\ldots,f(e_{n}))\) est une famille orthogonale.
Montrer que \(f\) conserve l’orthogonalité de \(\mathcal{B}\) si et seulement si \(\mathcal{B}\) est une base de vecteurs propres de \({}^t{f}\,f\).
Montrer que pour tout endomorphisme \(f\) de \(E\), il existe une base orthogonale dont \(f\) conserve l’orthogonalité.