Déterminons un repère de \((D)\).

\(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z+1=0\\ 2x+y+5z=2 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+y=-z-1\\ 2x+y=-5z+2 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=-4z+3\\ y=3z-4 \end{array} \right.\)

Un repère de \((D)\) est \(\left(A,\overrightarrow{u}\right)\) où \(A(3,-4,0)\) et \(\overrightarrow{u}(-4,3,1)\). Déterminons un repère de \((D')\).

\(\left\{ \begin{array}{l} x+y+z=2\\ 2x+y-5z=3 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x+y=-z+2\\ 2x+y=5z+3 \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x=6z+1\\ y=-7z+1 \end{array} \right.\)

Un repère de \((D')\) est \(\left(A',\overrightarrow{u'}\right)\) où \(A'(1,1,0)\) et \(\overrightarrow{u'}(6,-7,1)\). \(\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}=\left( \begin{array}{c} -4\\ 3\\ 1 \end{array} \right)\wedge\left( \begin{array}{c} 6\\ -7\\ 1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 10\\ 10\\ 10 \end{array} \right)\neq\overrightarrow{0}\).

Puisque \(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{u'}\) ne sont pas colinéaires, les droites \((D)\) et \((D')\) ne sont parallèles. Ceci assure l’unicité de la perpendiculaire commune à \((D)\) et \((D')\). On sait que la distance \(d\) de \((D)\) à \((D')\) est donnée par

\(d=\frac{\text{abs}\left(\left[\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}\right]\right)}{\|\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\|}\),

avec \([\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}]=\left| \begin{array}{ccc} -2&-4&6\\ 5&3&-7\\ 0&1&1 \end{array} \right|=10\times(-2)+10\times5=30\) et donc \(d=\frac{30}{10\sqrt{3}}=\sqrt{3}\).

\(d((D),(D'))=\sqrt{3}\).

Un système d’équations de la perpendiculaire commune est \(\left\{ \begin{array}{l} \left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\right]=0\\ \rule{0mm}{6mm}\left[\overrightarrow{A'M},\overrightarrow{u'},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\right]=0 \end{array} \right.\). Or,

\(\frac{1}{10}\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\right]=\left| \begin{array}{ccc} x-3&-4&1\\ y+4&3&1\\ z&1&1 \end{array} \right|=2(x-3)+5(y+4)-7z=2x+5y-7z+14\),

et

\(\frac{1}{10}\left[\overrightarrow{A'M},\overrightarrow{u'},\overrightarrow{u}\wedge\overrightarrow{u'}\right]=\left| \begin{array}{ccc} x-1&6&1\\ y-1&-7&1\\ z&1&1 \end{array} \right|=-8(x-1)-5(y-1)+13z=-8x-5y+13z+13\).

Donc

un système d’équations cartésienne de la perpendiculaire commune à \((D)\) et \((D')\) est

\(\left\{ \begin{array}{l} 2x+5y-7z=-14\\ 8x+5y-13z=13 \end{array} \right.\).

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