Soient \(a_1< ... <a_n\) \(n\) réels deux à deux distincts et \(\lambda_1\),..., \(\lambda_n\) n réels tels que \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_if_{a_i}=0\) \((*)\).

Première solution. Après multiplication des deux membres de \((*)\) par \(e^{-a_nx}\) puis passage à la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\), on obtient \(\lambda_n=0\). En réitérant, on obtient donc \(\lambda_n=\lambda_{n-1}=...=\lambda_1=0\).

Deuxième solution. On note \(f\) la fonction apparaissant au premier membre de \((*)\).

\[\begin{align*}\ensuremath f=0&\Rightarrow \forall k\in\llbracket0,,n-1\rrbracket,\;f^{(k)}(0)=0\\ &\Rightarrow\forall k\in\llbracket0,n-1\rrbracket,\;\lambda_1a_1^k+...+\lambda_na_n^k=0. \end{align*}\]

Le système prédédent d’ inconnues \(\lambda_i\), \(1\leqslant n\), est un système linéaire homogène à \(n\) équations et \(n\) inconnues. Son déterminant est le déterminant de des \(a_i\) et est non nul puisque les \(a_i\) sont deux à deux distincts. Le système est donc de Cramer et admet l’unique solution \((0,...,0)\).

Troisième solution. ( dans le cas où on se restreint à démontrer la liberté de la famille \((x\mapsto e^{nx})_{n\in\Nn}\)).

Soient \(n_1< ... < n_p\) \(p\) entiers naturels deux à deux distincts. Supposons que pour tout réel \(x\) on ait \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_ie^{n_ix}=0\). On en déduit que pour tout réel strictement positif \(t\), on a \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_it^{n_i}=0\) et donc le polynôme \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_iX^{n_i}\) est nul (car a une infinité de racines) ou encore les coefficients du polynôme \(\sum_{i=1}^{n}\lambda_iX^{n_i}\) à savoir les \(\lambda_i\) sont tous nuls.

Quatrième solution. (pour les redoublants) L’application \(\varphi\) qui à \(f\) de classe \(C^\infty\) fait correspondre sa dérivée est un endomorphisme de l’espace des fonctions de classe \(C^\infty\) sur \(\Rr\) à valeurs dans \(\Rr\). Pour \(a\) réel donné, \(\varphi(f_a)=af_a\) et la famille \((f_a)_{a\in\Rr}\) est constituée de vecteurs propres de \(\varphi\) (les \(f_a\) sont non nulles) associés à des valeurs propres deux à deux distinctes. On sait qu’une telle famille est libre.

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