\(a\) est solution du problème si et seulement si \(X^5-209X+a\) est divisible par un polynôme de la forme \(X^2+\alpha X+1\). Mais

\[X^5-209X+a=(X^2+\alpha X+1)(X^3-\alpha X^2+(\alpha^2-1)X-(\alpha^3-2\alpha))+(\alpha^4-3\alpha^2-208)X+a+(\alpha^3-2\alpha).\]

Donc a est solution \(\Leftrightarrow\exists\alpha\in\Cc/\;\left\{ \begin{array}{l} \alpha^4-3\alpha^2-208=0\\ a=-\alpha^3+2\alpha \end{array} \right.\). Mais, \(\alpha^4-3\alpha^2-208=0\Leftrightarrow\alpha^2\in\{-13,16\}\Leftrightarrow\alpha\in\{-4,4,i\sqrt{13},-i\sqrt{13}\}\) et la deuxième équation fournit \(a\in\{56,-56,15i\sqrt{13},-15i\sqrt{13}\}\).

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