On effectue sur la matrice \(\left( \begin{array}{cc} A&-B\\ B&A \end{array} \right)\) les transformations : \(\forall j\in\llbracket1,n\rrbracket\), \(C_j\leftarrow C_j+iC_{n+j}\) (où \(i^2 = -1\)) sans modifier la valeur du déterminant. On obtient \(\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&-B\\ B&A \end{array} \right)=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A-iB&-B\\ B+iA&A \end{array} \right)\).

Puis en effectuant les transformations : \(\forall j\in\llbracket n+1,2n\rrbracket\), \(L_j\leftarrow L_j - iL_{j-n}\), on obtient

\(\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&-B\\ B&A \end{array} \right)=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A-iB&-B\\ B+iA&A \end{array} \right)=\text{det}\left( \begin{array}{cc} A-iB&-B\\ 0&A+iB \end{array} \right)=\text{det}(A+iB)\times\text{det}(A-iB)\).

Comme les matrices \(A\) et \(B\) sont réelles, \(\text{det}(A-iB)=\overline{\text{det}(A+iB)}\) et donc

\(\text{det}\left( \begin{array}{cc} A&-B\\ B&A \end{array} \right)=|\text{det}(A+iB)|^2\in\Rr^+\).

exo7 5646