L’équation différentielle à résoudre dans cet exercice est linéaire du premier ordre. On note \((E)\) l’équation différentielle proposée et \((E_H)\) l’équation homogène associée.

Soit \(I\) l’un des deux intervalles \(]-1,1[\) ou \(]1,+\infty[\). Les fonctions \(x\mapsto\frac{-2x}{1-x^2}\) et \(x\mapsto\frac{x^2}{1-x^2}\) sont continues sur \(I\) et on sait que les solutions de \((E)\) sur \(I\) sont de la forme \(f_0+\lambda f_1\) où \(f_0\) est une solution particulière de \((E)\) et \(f_1\) est une solution particulière non nulle de \((E_H)\).

Résolution de \((E)\) sur \(I\). Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(I\).

\[\begin{align*}\ensuremath f\;\mbox{solution de}\;(E)\;\mbox{sur}\;I&\Leftrightarrow\forall x\in I,\;(1-x^2)f'(x)-2xf(x)=x^2\\ &\Leftrightarrow\forall x\in I,\;((1-x^2)f)'(x)=x^2\Leftrightarrow\exists\lambda\in\Rr/\;\forall x\in I,\;(1-x^2)f(x)=\frac{x^3}{3}+\lambda\\ &\Leftrightarrow\exists \lambda\in\Rr/\;\forall x\in I,\;f(x)=\frac{x^3+\lambda}{3(1-x^2)},\end{align*}\]

(en renommant \(\lambda\) la constante \(3\lambda\)).

Si \(I=]-1,+\infty[\).

Soit \(f\) une éventuelle solution de \((E)\) sur \(I\). Les restrictions de \(f\) à \(]-1,1[\) et \(]1,+\infty[\) sont encore solution de \((E)\) et donc de la forme précédente. Par suite, nécessairement, il existe deux constantes \(\lambda_1\) et\(\lambda_2\) telles que, pour \(-1<x<1\), \(f(x)=\frac{x^3+\lambda_1}{3(1-x^2)}\) et pour \(x>1\), \(f(x)=\frac{x^3+\lambda_2}{3(1-x^2)}\). Enfin, l’équation impose \(f(1)=-\frac{1}{2}\).

En résumé, une éventuelle solution de \((E)\) sur \(I\) est nécessairement de la forme :

\[\forall x>-1,\;f(x)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^3+\lambda_1}{3(1-x^2)}\;\mbox{si}\;-1<x<1\\ -\frac{1}{2}\;\mbox{si}\;x=1\\ \frac{x^3+\lambda_2}{3(1-x^2)}\;\mbox{si}\;x>1 \end{array} \right..\]

Réciproquement, \(f\) ainsi définie, est dérivable sur \(]-1,1[\) et solution de \((E)\) sur \(]-1,1[\), dérivable sur \(]1,+\infty[\) et solution de \((E)\) sur \(]1,+\infty[\) et, si \(f\) est dérivable en \(1\), \(f\) vérifie encore \((E)\) pour \(x=1\). Donc, \(f\) est solution de \((E)\) sur \(]-1,+\infty[\) si et seulement si \(f\) est dérivable en \(1\).

Pour \(-1<x<1\),

\[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{\frac{x^3+\lambda_1}{3(1-x^2)}+\frac{1}{2}}{x-1}=\frac{2x^3+2\lambda_1+3(1-x^2)} {6(1-x^2)(x-1)}\]

Quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs inférieures, le dénominateur de la fraction tend vers \(0\) et le numérateur tend vers \(2(1+\lambda_1)\). Donc, si \(\lambda_1\neq-1\), \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(1\). De même, si \(\lambda_2\) n’est pas \(-1\), \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(-1\). Ainsi, si \(f\) est solution de \((E)\) sur \(I\), nécessairement \(\lambda_1=\lambda_2=-1\). Dans ce cas, pour \(x\in]-1,+\infty[\setminus\{1\}\),

\[f(x)=\frac{x^3-1}{3(1-x^2)}=\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{3(1-x)(1+x)}=-\frac{x^2+x+1}{3(x+1)},\]

ce qui reste vrai pour \(x=1\). Ainsi, si \(f\) est une solution de \((E)\) sur \(]-1,+\infty[\), nécessairement pour \(x>-1\), \(f(x)=-\frac{x^2+x+1}{3(x+1)}\). Réciproquement, \(f\) ainsi définie est dérivable sur \(]-1,+\infty[\) et en particulier en \(1\). \(f\) est donc solution de \((E)\) sur \(]-1,+\infty[\).

Sur \(]-1,+\infty[\), \((E)\) admet une et une seule solution à savoir la fonction \(x\mapsto-\frac{x^2+x+1}{3(x+1)}\).

Si \(I=\Rr\), soit \(f\) une éventuelle solution de \((E)\) sur \(\Rr\). La restriction de \(f\) à \(]-1,+\infty[\) est nécessairement la fonction précédente. Mais cette fonction tend vers \(-\infty\) quand \(x\) tend vers \(-1\) par valeurs supérieures. Donc \(f\) ne peut être continue sur \(\Rr\) et \((E)\) n’a pas de solution sur \(\Rr\).

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