Soit \(x\in[0,1]\subset[0,\frac{\pi}{2}]\).

D’après la formule de Taylor-Laplace à l’ordre 1 fournit

\[\sin x=x-\int_{0}^{x}(x-t)\sin t\;dt\leq x,\]

car pour \(t\in[0,x]\), \((x-t)\geq0\) et pour \(t\in[0,x]\subset[0,\frac{\pi}{2}]\), \(\sin t\geq0\).

De même, la formule de Taylor-Laplace à l’ordre 3 fournit

\[\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\int_{0}^{x}\frac{(x-t)^3}{6}\sin t\;dt\geq x-\frac{x^3}{6}.\]

Donc, \(\forall x\in[0,1],\;x-\frac{x^3}{6}\leq\sin x\leq x\).

Soient alors \(n\geq1\) et \(k\in\{1,...,n\}\). On a \(0\leq\frac{1}{(n+k)^2}\leq1\) et donc

\[\frac{1}{(n+k)^2}-\frac{1}{6(n+k)^6}\leq\sin\frac{1}{(n+k)^2}\leq\frac{1}{(n+k)^2},\]

puis en sommant

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{6(n+k)^6}\leq\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{1}{(n+k)^2}\leq\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}.\]

Maintenant, quand \(n\) tend vers \(+\infty\),

\[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(n+k)^2}=\frac{1}{n}.\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(1+\frac{k}{n})^2} =\frac{1}{n}\left(\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)^2}\;dx+o(1)\right)=\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n}).\]

D’autre part,

\[0\leq\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{6(n+k)^6}\leq n.\frac{1}{6n^6}=\frac{1}{6n^5},\]

et donc, \(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{6(n+k)^6}=o(\frac{1}{n})\).

On en déduit que \(2n(\frac{1}{(n+k)^2}-\frac{1}{6(n+k)^6})=2n(\frac{1}{2n}+o(\frac{1}{n}))=1+o(1)\) et que \(2n\frac{1}{(n+k)^2}=1+o(1)\). Mais alors, d’après le théorème des gendarmes, \(2n\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{1}{(n+k)^2}\) tend vers \(1\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), ou encore

\[\sum_{k=1}^{n}\sin\frac{1}{(n+k)^2}\underset{n\rightarrow+\infty}{\sim}\frac{1}{2n}.\]

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