Soit \(E=\R^d\) muni d’une norme \(\|\cdot\|\). On rappelle qu’une application continue \(g\) de \(E\) dans \(E\) est dite contractante s’il existe \(K\in ]0,1[\) tel que \[\|g(x)-g(y)\|\le K \|x-y\| \qquad \forall x,y\in E.\] On rappelle aussi que toute application contractante admet un unique point fixe.
Soit \(f\) une application continue de \(E\) dans \(E\) telle qu’il existe un entier \(n\) tel que \(f^n\) soit contractante. On note \(x_0\) le point fixe de \(f^n\).
1
Montrer que tout point fixe de \(f\) est un point fixe de \(f^n\).
2
Montrer que si \(x\) est un point fixe de \(f^n\), il en est de même pour \(f(x)\).
3
En déduire que \(x_0\) est l’unique point fixe de \(f\).