\(y^{\prime\prime}- y =-6\cos x + 2x\sin x\). Ici \(f(r) =(r-1)(r+1)\) et l’équation homogène a pour solutions : \[y(x) = c_1 e^x +c_2e^{-x} \hbox{ avec } c_1, c_2 \in \R .\] On remarque que la fonction \(3\cos x\) vérifie l’équation : \(y^{\prime\prime}- y =-6\cos x\), il nous reste donc à chercher une solution \(y_1\) de l’équation \(y^{\prime\prime}-y=2x\sin x\), car \(y_p(x)=3\cos x+y_1(x)\) sera une solution de l’équation considŕée. Pour cela, on remarque que \(2x\sin x = \mathop{\mathrm{Im}}\nolimits (2xe^{ix})\) et on utilise la méthode décrite plus haut pour trouver une solution \(z_1\) de l’équation : \(y^{\prime\prime}- y =2xe^{ix}\). On cherche \(z_1\) sous la forme \(P(x)e^{ix}\) où \(P\) est un polynôme de degré 1 car \(f(i)=-2\not =0\). On a \(f^\prime(i)= 2i\), la condition \((*)\) sur \(P\) est donc : \(2iP^\prime(x)-2P(x) = 2x\) ce qui donne après identification \(P(x) = -x-i\). Alors \(y_1(x)=\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits((-x+i)e^{ix})=-x\sin x-\cos x\). Les solutions sont par conséquent les fonctions : \[y(x) = c_1 e^x +c_2e^{-x}+2\cos x -x\sin x \hbox{ avec } c_1, c_2 \in \R.\] Autre méthode pour trouver une solution de \(y^{\prime\prime}- y = 2x\sin x\) : On la cherche de la forme \(y_1(x) = A(x)\sin x + B(x)\cos x\) où \(A,B\) sont des polynômes de degré 1 car \(i\) n’est pas racine de l’équation caractéristique (danger : pour un second membre du type \(Q(x)\sin (\beta x)e^{\alpha x}\) la discussion porte sur \(\alpha+i\beta\) et non sur \(\alpha\) ou \(\beta\)...). On calcule \(y_1^\prime\), \(y_1^{\prime\prime}\) et on applique l’équation étudiée à \(y_1\) …on obtient la condition : \[(A^{\prime\prime}-A-2B^\prime)\sin x +(B^{\prime\prime}-B-2A^\prime)= 2x\sin x\] qui sera réalisée si : \(\left\lbrace \begin{array}{c} A^{\prime\prime}-A-2B^\prime = 2x \\ B^{\prime\prime}-B-2A^\prime = 0 \end{array} \right. .\)
On écrit : \(A(x)= ax+b\) et \(B(x)=cx+d\), après identification on obtient : \(a=d=-1\), \(b=c=0\), ce qui détermine \(y_1\).

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