Analyse : on pose \(P_j = a_0 + a_1X + \dots + a_nX^n\) et on considère la fraction rationnelle \[F(X) = \frac{a_0}{X} + \frac{a_1}{X+1} + \dots + \frac{a_n}{X+n} = \frac{P(X)}{X(X+1)\dots(X+n)}.\] Alors \(\int_{t=0}^1 t^iP_j(t)\,dt = F(i+1) = \frac{i!\,P(i+1)}{(i+n+1)!}\) donc \(P(j+1) = \frac{(j+n+1)!}{j!}\) et \(P(k) = 0\) pour \(k\in{[[1,n+1]]}\setminus\{j+1\}\), soit \[\begin{aligned} P(X) &= \frac{(j+n+1)!}{j!}\prod_{k\ne j+1}\frac{X-k}{j+1-k} \\&= (-1)^{n-j}\frac{(j+n+1)!}{(j!)^2(n-j)!}\prod_{k\ne j+1}(X-k) = Q_j(X). \end{aligned}\]

Synthèse : soit \(Q_j\) le polynôme ci-dessus et \(a_0,\dots,a_n\) les coefficients de la décomposition en éléments simples de \(\frac{Q_j(X)}{X(X+1)\dots(X+n)}\). On doit juste vérifier que les \(a_i\) sont entiers. Calcul : \[\begin{aligned} a_i &= \frac{Q_j(-i)}{(-1)^ii!\,(n-i)!} = (-1)^{i+j}\frac{(i+j)!\,(i+n+1)!\,(j+n+1)!}{(i+j+1)!\,(i!)^2\,(j!)^2\,(n-i)!\,(n-j)!} \\ &= (-1)^{i+j}C_{i+j}^iC_{i+n+1}^{i+j+1}C_{j+n+1}^{j}C_n^i(n+1) \in\Z. \end{aligned}\]

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