On a \[\mu\left(f = +\infty\right) = \mu\left(\cap_{n\in\mathbb{N}}\{f \geq n\}\right).\] Puisque les ensembles \(A_{n} := \{f \geq n\}\) vérifient \(A_1 \supset A_{2} \supset A_{3}\dots\) et \(\mu(A_i) < +\infty\) (\(i=1,2,\ldots\)), par continuité de la mesure, on a : \[\mu\left(f = +\infty\right) = \lim_{n\rightarrow+\infty} \mu\left(f\geq n \right).\] Or, comme \(f\) est à valeurs positives, les fonctions \(f_{n}\) définies par \(f_{n} = n\mathbf{1}_{\{f\geq n\}}\) vérifient \(f_{n}\leq f\). Ainsi \[\int_{\Omega} f_{n}\,d\mu = \int_{\Omega} n \mathbf{1}_{\{f\geq n\}}\,d\mu = n \mu\left(f\geq n \right) ~\leq ~\int_{\Omega} f\,d\mu <+\infty.\] On en déduit que \[\mu\left(f\geq n \right) ~\leq~ \frac{1}{n}\int_{\Omega} f\,d\mu \rightarrow 0,\] donc \[\mu\left(f = +\infty\right) = 0.\]

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