Posons \(F=\mbox{Vect}(a,b)\) et \(G=\mbox{Vect}(c,d)\).

Montrons que \(c\) et \(d\) sont dans \(F\).

\[\begin{align*} c\in F\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;c=\lambda a+\mu b \Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\; \left\{ \begin{array}{l} \lambda+2\mu=1\\ 2\lambda-\mu=0\\ 3\lambda+\mu=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\; \left\{ \begin{array}{l} \lambda=\frac{1}{5}\\ \mu=\frac{2}{5}\\ 3\lambda+\mu=1 \end{array} \right.. \end{align*}\]

Puisque \(3.\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=1\), le système précédent admet bien un couple \((\lambda,\mu)\) solution et \(c\) est dans \(F\). Plus précisément, \(c=\frac{1}{5}a+\frac{2}{5}b\).

\[\begin{align*} d\in F\Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\;d=\lambda a+\mu b \Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\; \left\{ \begin{array}{l} \lambda+2\mu=0\\ 2\lambda-\mu=1\\ 3\lambda+\mu=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow\exists(\lambda,\mu)\in\Rr^2/\; \left\{ \begin{array}{l} \lambda=\frac{2}{5}\\ \mu=-\frac{1}{5}\\ 3\lambda+\mu=1 \end{array} \right.. \end{align*}\]

Puisque \(3.\frac{2}{5}-\frac{1}{5}=1\), le système précédent admet bien un couple \((\lambda,\mu)\) solution et \(d\) est dans \(F\). Plus précisément, \(d=\frac{2}{5}a-\frac{1}{5}b\). En résumé, \(\{c,d\}\subset F\) et donc \(G=\mbox{Vect}(c,d)\subset F\).

Montrons que \(a\) et \(b\) sont dans \(G\) mais les égalités \(c=\frac{1}{5}a+\frac{2}{5}b\) et \(d=\frac{2}{5}a-\frac{1}{5}b\) fournissent \(a=c+2d\) et \(b=2c-d\). Par suite, \(\{a,b\}\subset G\) et donc \(F=\mbox{Vect}(a,b)\subset G\). Finalement \(F=G\).

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