Pour \(x>0\), posons \(f(x)=\frac{x^2}{e^x-1}\). \(f\) est continue sur \(]0,+\infty[\).

Ensuite, pour tout réel strictement positif \(x\), on a \(0<e^{-x}<1\) et donc

\(\frac{x^2}{e^x-1}=\frac{x^2e^{-x}}{1-e^{-x}}=x^2e^{-x}\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-nx}=\sum_{n=0}^{+\infty}x^2e^{-(n+1)x}=\sum_{n=1}^{+\infty}x^2e^{-nx}\).

Pour \(n\in\Nn^*\) et \(x>0\), posons \(f_n(x)=x^2e^{-nx}\). Chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn^*\), est continue et intégrable sur \([0,+\infty[\) car négligeable devant \(\frac{1}{x^2}\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). En particulier, chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn^*\), est intégrable sur \(]0,+\infty[\). De plus, pour \(n\in\Nn^*\),

\(\int_{0}^{+\infty}|f_n(x)|\;dx=\int_{0}^{+\infty}x^2e^{-nx}\;dx=\frac{1}{n^3}\int_{0}^{+\infty}u^2e^{-u}\;du=\frac{\Gamma(3)}{n^3}=\frac{2}{n^3}\),

qui est le terme général d’une série numérique convergente.

En résumé,

chaque fonction \(f_n\), \(n\in\Nn^*\), est continue et intégrable sur \(]0,+\infty[\),

la série de fonctions de terme général \(f_n\), \(n\in\Nn^*\), converge simplement vers la fonction \(f\) sur \(]0,+\infty[\) et la fonction \(f\)

est continue sur \(]0,+\infty[\).

\(\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}|f_n(x)|\;dx<+\infty\).

D’après un théorème d’intégration terme à terme, \(f\) est intégrable sur \(]0,+\infty[\), la série numérique de terme général \(\int_{0}^{1}f_n(x)\;dx\), \(n\in\Nn^*\), converge et

\(\int_{0}^{+\infty}f(x)\;dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}f_n(x)\;dx=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{n^3}\).

On a montré que

\(\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2}{e^x-1}\;dx=2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^3}\).

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