Pour \(j\in\llbracket1,n\rrbracket\), notons \(C_j\) la \(j\)-ème colonne de la matrice \(A\). Posons encore \(U=\left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ \vdots\\ n \end{array} \right)\) et \(V=\left( \begin{array}{c} 2\\ 3\\ \vdots\\ n+1 \end{array} \right)\). Pour \(j\in\llbracket1,n\rrbracket\), on a

\(Cj = (i+j(i+1))_{1\leqslant i\leqslant n}= (i)_{1\leqslant i\leqslant n}+j(i+1)_{1\leqslant i\leqslant n}=U+jV\).

Donc \(\text{Vect}(C_1,...,C_n)\subset\text{Vect}(U,V)\) et en particulier, \(\text{rg}A\leqslant 2\). Maintenant, si \(n\geqslant 2\), les deux premières colonnes de \(A\) ne sont pas colinéaires car \(\left| \begin{array}{cc} 3&5\\ 5&8 \end{array} \right|=-1\neq0\). Donc, si \(n\geqslant2\), \(\text{rg}A=2\) et si \(n=1\), \(\text{rg}A =1\).

Si \(n\geqslant 2\), \(\text{rg}(i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}=2\) et si \(n=1\), \(\text{rg}(i+j+ij)_{1\leqslant i,j\leqslant n}=1\).

exo7 5607