Pas de division préliminaire dans ce cas… Forme de la décomposition : \[\begin{equation} \label{eq31} \Phi={A\over x}+{Bx+C\over(x^2+1)^3}+{Dx+E\over(x^2+1)^2}+{Fx+G\over x^2+1}. \end{equation}\] La méthode du premier exercice permet d’obtenir \(A\), puis \(B\) et \(C\) (pour ces derniers : multiplication des deux membres de ([eq31]) par \(x^2+1\), puis limite quand \(x\) tend vers \(i\) ou vers \(-i\), avec séparation des parties réelle et imaginaire), mais c’est bien insuffisant pour conclure : il faut encore soustraire \({Bx+C\over(x^2+1)^3}\), simplifier par \(x^2+1\), calculer \(D\) et \(E\)… (le faire faire quand même à titre d’entraînement).

On va ici se contenter de trouver \(A\) (\(A=3\)), puis faire la soustraction \(\Phi_1=\Phi-{A\over x}\). Faire faire le calcul aux étudiants ; leur faire remarquer que, sauf erreur de calcul, la fraction \(\Phi_1\) doit se simplifier par \(x\). On trouve : \[\Phi={3\over x}+{x^5-2x^4+2x^3-x^2+2x+2\over(x^2+1)^3}.\] La fin de la décomposition se fait par divisions successives suivant les puissances décroissantes : division du numérateur \(x^5-2x^4+2x^3-x^2+2x+2\) par \(x^2+1\), puis du quotient obtenu par \(x^2+1\). \[{4x^6-2x^5+11x^4-x^3+11x^2+2x+3\over x(x^2+1)^3}= {3\over x}+{x+1\over(x^2+1)^3}+{3\over(x^2+1)^2}+{x-2\over x^2+1}.\]

Remarque : cette méthode des divisions successives est très pratique quand la fraction à décomposer a un dénominateur simple, c’est à dire comportant un dénominateur du type \(Q^n\) où \(Q\) est du premier degré, ou du second degré sans racine réelle. Faire remarquer aussi comment on peut simplifier petit à petit en éliminant du dénominateur un dénominateur simple (méthode utilisée dans l’exercice 3 par le calcul de \(\Phi-{A\over x}\)).

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