Sinon il existe \(a\in\R^2\) telle que \(g\) : \(x \mapsto f(x)-(a\mid x)\) n’a pas de point critique, donc pas de minimum ni de maximum. On a aussi \(|g(x)|/\|x\|\to +\infty\) lorsque \(\|x\|\to\infty\) d’où \(\sup(g) = +\infty\) et \(\inf(g) = -\infty\). Considérons pour \(r> 0\) \(E_r = \{x\in\R^2\text{ tq }\|x\|\ge r\}\) : \(g(E_r)\) est une partie connexe de \(\R\) donc un intervalle, et \(\sup(g(E_r)) = \sup(g) = +\infty\), \(\inf(g(E_r)) = \inf(g) = -\infty\), d’où \(g(E_r) = \R\). Ainsi il existe des \(x\) de normes arbitrairement grandes tels que \(g(x) = 0\) en contradiction avec la propriété \(|g(x)|/\|x\| \to +\infty\) lorsque \(\|x\|\to\infty\).

Remarque : l’hypothèse \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) est surabondante, la classe \(\mathcal{C}^1\) suffit à conclure.

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