(On va retrouver le résultat de l’exercice [exo:suprou2] dans un cas particulier)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels positifs. Alors, \(\Arctan a\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\), \(\Arctan b\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[\) et donc, \(\Arctan a-\Arctan b\in\left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[\). De plus,

\[\tan(\Arctan a-\Arctan b)=\frac{\tan(\Arctan a)-\tan(\Arctan b)}{1+\tan(\Arctan a)\tan(\Arctan b)}=\frac{a-b}{1+ab},\] et donc, puisque \(\Arctan a-\Arctan b\in]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}[\),

\(\forall a\geq0,\;\forall b\geq0,\;\Arctan a-\Arctan b =\Arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right).\)

Soit alors \(k\) un entier naturel non nul. \(\Arctan\frac{2}{k^2}=\Arctan\frac{(k+1)-(k-1)}{1+(k-1)(k+1)}=\Arctan(k+1)-\Arctan(k-1)\) (puisque \(k-1\) et \(k+1\) sont positifs). Par suite, si \(n\) est un entier naturel non nul donné,

\[\begin{align*} u_n&=\sum_{k=1}^{n}\Arctan\frac{2}{k^2}=\sum_{k=1}^{n}(\Arctan(k+1)-\Arctan(k-1))=\sum_{k=2}^{n+1}\Arctan k-\sum_{k=0}^{n-1}\Arctan k\\ &=\Arctan(n+1)+\Arctan n-\frac{\pi}{4}. \end{align*}\] La limite de \(u_n\) vaut donc \(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}\).

\(\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=\frac{3\pi}{4}\).

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