Soient \(A,B\) deux points de \(S\) distincts. Intersection de \(S\) avec un plan passant par \(A\) et \(B\) \(\Rightarrow\) \(S\) est réunion de cercles passant par \(A\) et \(B\). On considère le plan médiateur de \([A,B]\), \(P\) qui coupe \(S\) suivant un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\). Le plan \(Q = (OAB)\) coupe \(S\) suivant un cercle \(\mathcal{C}'\). \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\) ont en commun les points \(C\), \(D\). \((CD)\) est médiatrice de \([A,B]\) dans \(Q\) donc est un diamètre de \(\mathcal{C}'\) et passe par \(O\), donc est aussi diamètre de \(\mathcal{C}\). Ainsi \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{C}'\) sont deux cercles de même centre et même rayon dans des plans perpendiculaires. En considérant les plans coupant \(P\) et \(Q\) à angle droit, on obtient que \(S\) est une sphère de centre \(O\).

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