Soit \(n\in\Nn\). Pour \(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\), \(0\leq\Arcsin^x\leq(\frac{\pi}{2})^n\) et donc, par croissance de l’intégrale,

\[0\leq u_n\leq\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}(\frac{\pi}{2})^ndx=\frac{1}{n!}(\frac{\pi}{2})^n.\]

D’après un théorème de croissances comparées, \(\frac{1}{n!}(\frac{\pi}{2})^n\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). D’après le théorème des gendarmes, \(u_n\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). \(0\leq\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}\;dx\leq\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+0}\;dx=\frac{1}{n+1}\). Comme \(\frac{1}{n+1}\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), \(\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}\;dx\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\). Soit \(n\in\Nn^*\).

\[\begin{align*}\ensuremath \left|\int_{0}^{\pi}\frac{n\sin x}{x+n}\;dx-\int_{0}^{\pi}\sin x\;dx\right|=\left| \int_{0}^{\pi}\frac{-x\sin x}{x+n}\;dx\right|\leq\int_{0}^{\pi}\left|\frac{-x\sin x}{x+n}\;dx\right| \leq\int_{0}^{\pi}\frac{\pi}{0+n}\;dx=\frac{\pi^2}{n}. \end{align*}\]

Or, \(\frac{\pi^2}{n}\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), et donc \(\int_{0}^{\pi}\frac{n\sin x}{x+n}\;dx\) tend vers \(\int_{0}^{\pi}\sin x\;dx=2\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

exo7 5459