Soient \(n\in\Nn^*\) et \(a_1\), \(a_2\),..., \(a_n\), \(n\) réels strictement positifs.

\[\begin{align*} \left(\sum_{i=1}^{n}a_i\right)\left(\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j}\right)&=\sum_{1\leq i,j\leq n}^{}\frac{a_i}{a_j} =\sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{a_i}+\sum_{1\leq i<j\leq n}^{}(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}) =n+\sum_{1\leq i<j\leq n}^{}(\frac{a_i}{a_j}+\frac{a_j}{a_i}) \end{align*}\]

Pour \(x>0\), posons alors \(f(x)=x+\frac{1}{x}\). \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et pour \(x>0\), \(f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\). \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]0,1]\) et strictement croissante sur \([1,+\infty[\). \(f\) admet ainsi un minimum en \(1\). Par suite,

\[\forall x>0,\;f(x)\geq f(1)=1+\frac{1}{1}=2.\]

(Remarque. L’inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d’obtenir le résultat : \[\frac{1}{2}(x+\frac{1}{x})\geq\sqrt{x.\frac{1}{x}}=1.)\]

On en déduit alors que

\[\sum_{i=1}^{n}a_i\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{a_j}\geq n+\sum_{1\leq i<j\leq n}^{}2=n+2\frac{n^2-n}{2}=n^2.\]

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