Soit \(n\) un entier supérieur à \(3\). Soit \(D_{2n}\) le groupe des isométries d’un polygone régulier \(P\) à \(n\) côtés d’un plan euclidien réel. Comme toutes les isométries sont affines, l’isobarycentre \(G\) des sommets de \(P\) est conservé. Les éléments de \(D_{2n}\) de déterminant positif sont donc des rotations de centre \(G\), et ceux de déterminant négatif des symétries orthogonales par rapport à des droites passant par \(G\). Comme une rotation qui a deux points fixes est l’identité, les rotations sont d’ordre inférieur à \(n\). Il n’y a donc que les \(n\) rotations d’angle multiple de \(2\pi/n\). Comme la composée de deux symétries d’axe passant par \(G\) est une rotation, il y a aussi exactement \(n\) symétries, obtenues comme produit des \(n\) rotations par une symétrie fixée.

L’application \(\det~:~D_{2n}\to \{-1,1\}\) est un morphisme de groupes qui a pour image le groupe commutatif \(\{-1,1\}\) et pour noyau le groupe commutatif \(R_n\) des rotations de centre \(G\) d’angle multiple de \(2\pi/n\). Le groupe dérivé \(D^{(1)}(D_{2n})\) de \(D_{2n}\) est donc inclus dans le sous-groupe commutatif des rotations. Par conséquent, le deuxième groupe dérivé \(D^{(2)}(D_{2n})=\{Id\}\) et \(D_{2n}\) est résoluble.

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