On cherche d’abord les points stationnaires dans l’intérieur de \(K\) : la fonction \(f\) n’est pas dérivable en \((0,0)\), on calcule les dérivées partielles en \((x,y) \in \overset{\circ}{K} \backslash \{(0,0)\} = \{(x,y)\in \R^2 \mid 0< x^2+y^2 < 16\}\) : \[\begin{align*} \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 0\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+2x = 0\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} =0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x}{|x|} + 2x = 0\\ y =0 \end{cases} \end{align*}\] Il n’y a aucune solution à ce système d’équations (si \(x>0\) alors \(1+2x>0\) et si \(x<0\) alors \(-1+2x=0\)). Donc \(f\) n’admet pas de points stationnaires sur \(\overset{\circ}{K} \backslash \{(0,0)\}\).

La fonction \(f\) n’a donc d’autre choix que d’atteindre ses bornes en \((0,0)\) ou bien sur la frontière du domaine \(K\).

Or \(f(0,0) = -3\) et pour tout \((x,y) \in K\), \(\sqrt{x^2+y^2}+x^2 \geq 0\) donc \(f(x,y) \geq -3 = f(0,0)\). On en déduit que \(f\) atteint son minimum en \((0,0)\) et ce minimum vaut \(-3\).

D’autre part, la frontière de \(K\) est le cercle d’équation \(x^2+y^2=16\), sur lequel \(f(x,y) = 1+x^2\). On en déduit que le maximum est atteint si \(x \in \{-4,4\}\), ce qui impose \(y=0\). Le maximum est donc atteint aux points \((-4,0)\) et \((4,0)\), la valeur de ce maximum est \(17\).

Etude d'extrema