Soit \(a \in \mathbb{R}\) et soit la matrice \[A = \begin{pmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{pmatrix}\]
On admet que le polynôme caractéristique de \(A\) est \(\chi_A(X) = -(X-1+a)^2(X-1-2a)\).
En déduire des conditions sur \(a \in \mathbb{R}\) telles que la matrice \(A\) soit symétrique définie positive. On se restreindra à ce cas par la suite.
Déterminer le rayon spectral de la matrice \(I_3 - A\) où \(I_3\) est la matrice identité.
En déduire des conditions nécessaires et suffisantes sur \(a \in \mathbb{R}\) pour que la méthode de Jacobi converge vers une solution du système \(Ax=b\).
Déterminer des conditions suffisantes sur \(a \in \mathbb{R}\) pour que la méthode de Gauss-Seidel converge vers une solution du système \(Ax=b\).