1ère solution. Soit \(z\in\Cc\). Posons \(z = x+iy\) où \((x,y)\in\Rr^2\) et \(1+ \frac{r}{n}=r_ne^{i\theta}\) où \(r_n\geqslant0\) et \(\theta_n\in]-\pi,\pi]\) de sorte que

\(\left(1+ \frac{z}{n}\right)^n=r_n^n\;e^{in\theta_n}\).

Puisque \(1+ \frac{z}{n}\) tend vers \(1\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), pour \(n\) assez grand on a \(r_n > 0\) et \(\theta_n\in\left]- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[\). Mais alors pour \(n\) assez grand

\(r_n =\sqrt{\left(1+ \frac{x}{n}\right)^2+\left( \frac{y}{n}\right)^2}\) et \(\theta_n=\Arctan\left( \frac{ \frac{y}{n}}{1+ \frac{x}{n}}\right)\).

Maintenant, \(r_n^n=\exp\left( \frac{n}{2}\ln\left(\left(1+ \frac{x}{n}\right)^2+\left( \frac{y}{n}\right)^2 \right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}\exp\left( \frac{n}{2}\ln\left(1+ \frac{2x}{n}+o\left( \frac{1}{n}\right)\right)\right) \underset{n\rightarrow+\infty}{=} \exp(x+o(1))\) et donc \(r_n^n\) tend vers \(e^x\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Ensuite \(n\theta_n\underset{n\rightarrow+\infty}{=}n\Arctan\left( \frac{ \frac{y}{n}}{1+ \frac{x}{n}}\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}n\Arctan\left( \frac{y}{n}+o\left( \frac{1}{n}\right)\right)\underset{n\rightarrow+\infty}{=}y+o(1)\) et donc \(n\theta_n\) tend vers \(y\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Finalement, \(\left(1+ \frac{z}{n}\right)^n =r_n^n\;e^{in\theta_n}\) tend vers \(e^x\times e^{iy}= e^z\).

\(\forall z\in\Cc\), \(\lim_{n \rightarrow +\infty}\left(1+ \frac{z}{n}\right)^n=e^z\).

2ème solution. Le résultat est connu quand \(z\) est réel. Soit \(z\in\Cc\). Soit \(n\in\Nn^*\).

\(\left|\sum_{k=0}^{n} \frac{z^k}{k!}-\left(1+ \frac{z}{n}\right)^n\right| =\left|\sum_{k=0}^{n}\left( \frac{1}{k!}- \frac{C_n^k}{n^k}\right)z^k\right|\leqslant\sum_{k=0}^{n}\left| \frac{1}{k!}- \frac{C_n^k}{n^k}\right||z|^k\).

Maintenant, \(\forall k\in\llbracket0,n\rrbracket\), \(\frac{1}{k!}- \frac{C_n^k}{n^k}= \frac{1}{k!}\left(1- \frac{\overbrace{n\times(n-1)\times\ldots\times(n-k+1)}^{k}}{\underbrace{n\times n\times\ldots\times n}_{k}}\right)\geqslant 0\). Donc,

\(\sum_{k=0}^{n}\left| \frac{1}{k!}- \frac{C_n^k}{n^k}\right||z|^k=\sum_{k=0}^{n} \frac{|z|^k}{k!}-\left(1+ \frac{|z|^n}{n}\right)^n\underset{n\rightarrow+\infty}{\rightarrow}e^{|z|}-e^{|z|}= 0\).

On en déduit que \(\sum_{k=0}^{n} \frac{z^k}{k!}-\left(1+ \frac{z}{n}\right)^n\) tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et puisque \(\sum_{k=0}^{n} \frac{z^k}{k!}\) tend vers \(e^z\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), il en est de même de \(\left(1+ \frac{z}{n}\right)^n\).

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