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(I) Soit \(X\) un ensemble et \({\cal P} (X)\) l’ensemble des parties de \(X\) ordonné par l’inclusion. Soit \(\varphi\) une application croissante de \({\cal P}(X)\) dans lui-même.
(a) Montrer que l’ensemble \(E\) des parties \(A\) de \(X\) qui vérifient \(\varphi (A)\subset A\) est non vide et admet un plus petit élément \(A_0\).
(b) Montrer que \(\varphi (A_0)=A_0\).
(II) Soit deux ensembles \(X\) et \(Y\) munis de deux injections \(g\) de \(X\) dans \(Y\) et \(h\) de \(Y\) dans \(X\).
(a) Montrer que l’application de \({\cal P}(X)\) dans lui-même défini par \[\varphi (A)=X-h(Y-g(A))\] est croissante.
(b) Déduire de ce qui précède qu’il existe une bijection de \(X\) sur \(Y\).