\[A=A_1=\left(\begin{array}{cc} \alpha & u^T\\v&B_1\end{array}\right),\quad B_1=(b_{ij})_{i,j=1}^{n-1}\] \(A^T\) étant à diagonale strictement dominante on a: \[|\alpha|>\sum_{i=1}^{n-1}|v_i|,\quad |u_i| +\sum_{j\neq i}|b_{ji}|<|b_{ii}|\] Il suffit de montrer que

la première colonne de \(L\) vérifie \(|l_{11}|>\sum_{i\neq 1}|l_{i1}|\)
\(B_2\) est telle que \[A_2=\left(\begin{array}{cc}\alpha & u^T\\0& B_2\end{array}\right), \quad C=B_2=B_1-\frac{1}{\alpha} vu^T\] vérifie \(|c_{ii}|>\sum_{j\neq i}|c_{ji}|\) avec \(C_{ij}=B_{ij}-\frac{1}{\alpha}v_iu_j\) et itérer.

première colonne de \(L\): \(l_{i1}=v_i/\alpha \Rightarrow \sum_{i=2}^n |l_{i1}|=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{|v_i|}{\alpha}<1\)
\(\sum_{i\neq j}|c_{ij}| =\sum_{i\neq j}\left|b_{ij}-\frac{1}{\alpha}v_iw_j\right|\leq \sum_{i\neq j}|b_{ij}| +\frac{1}{|\alpha|}|w_j|\sum_{i\neq j}|v_i|\) \[\leq |b_{jj}| - |u_j| + \frac{1}{|\alpha|}|u_j| (|\alpha|-|v_j|) \leq\left|b_{jj}-\frac{1}{\alpha} u_jv_j\right|=|c_{jj}|\] donc \(B_2^T\) est de diagonale strictement dominante. La démonstration se finit par récurrence.

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