Dans le cas où \(E\) est de dimension finie, la signature de \(Q\) permet de conclure immédiatement. Supposons donc que \(E\) n’est pas de dimension fine.

Par hypothèse, il existe un vecteur non nul \(x_0\) tel que \(Q(x_0) = 0\). Supposons \(Q\) de signe constant. Ouite à remplacer \(Q\) par \(-Q\), on supposera que \(Q\) est positive. D?après l’inégalité de Cauchy-Schwarz (valable pour les formes quadratiques positives)

\(\forall y\in E,\;|\varphi(x_0,y)|\leqslant \sqrt{Q(x_0)}\sqrt{Q(y)}= 0\).

Donc \(\forall y\in E,\;\varphi(x_0,y) = 0\) et \(x_0\) est dans le noyau de \(\varphi\). Puisque \(x_0\neq0\), on en déduit que \(\varphi\) est dégénérée. En résumé, si \(Q\) est de signe constant, \(\varphi\) est dégénérée ou encore si \(\varphi\) est non dégénérée, \(Q\) n’est pas de signe constant.

exo7 5808