\(f_\lambda'(x) = \lambda e^x+2x\), \(f_\lambda''(x) = \lambda e^x+2\). Les points d’inflexion sont les racines de \(f_\lambda''\), donc si \(\lambda \geq 0\) il n’y a pas de point d’inflexion, si \(\lambda < 0\) alors il y a un point d’inflexion en \(x_\lambda = \ln(-2/\lambda)\). Si \(\lambda \geq 0\) alors \(f_\lambda''\) est toujours strictement positive, donc \(f_\lambda'\) est strictement croissante, en \(-\infty\) la limite de \(f_\lambda'\) est \(-\infty\), en \(+\infty\) la limite de \(f_\lambda'\) est \(+\infty\), donc il existe un unique réel \(y_\lambda\) tel que \(f'_\lambda(y_\lambda)=0\). \(f_\lambda\) est décroissante sur \(]-\infty,y_\lambda]\) et croissante sur \([y_\lambda, +\infty[\). Et en \(y_\lambda\) nous avons un minimum absolu. Nous supposons \(\lambda < 0\). Alors \(f_\lambda''\) s’annule seulement en \(x_\lambda\). \(f_\lambda'\) est croissante sur \(]-\infty,x_\lambda]\) et décroissante sur \([x_\lambda, +\infty[\). Donc \(f_\lambda'\) a des racines si et seulement si \(f'(x_\lambda) \geq 0\). Or \(f'(x_\lambda) = -2+2x_\lambda\). Si \(\lambda = -2/e\) alors \(f_\lambda'(x_\lambda) = 0\). Comme \(f_\lambda''(x_\lambda)=0\) et \(f_\lambda'''\) ne s’annule pas alors \(x_\lambda\) est un point d’inflexion qui n’est pas un extremum local. Si \(\lambda>-2/e\) alors \(f_\lambda'(x_\lambda) <0\) donc \(f_\lambda'\) est négative donc \(f\) est strictement décroissante. Il n’y a pas d’extremum local. Si \(-2/e<\lambda<0\) alors \(f_\lambda'(x_\lambda) > 0\). Donc \(f_\lambda'\) s’annule en deux points, une fois sur \(]-\infty,x_\lambda[\) et une sur \(]x_\lambda,+\infty[\). Ce sont des extremums locaux (minimum et maximum respectivement).

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