Soit \((E_{ij})\) la base canonique de \(\mathcal{M}_2(\C)\) : \(E_{12}^2=0\) donc \(q(E_{12}) = 0\) et si \(A\) est une matrice quelconque de rang \(1\), \(A\) est équivalente à \(E_{12}\) d’où \(q(A) = 0\). Si \(A=0\) on a aussi \(q(A)=0\) et si \(A\) est inversible alors toute matrice est multiple de \(A\) donc \(q(A)\ne 0\), en particulier \(q(I)=1\) car \(q^2(I)=q(I)\). On en déduit \(q(A) = 0 \Leftrightarrow\det(A)=0\).

Pour \(A\) quelconque, les applications : \(z \mapsto\det(A-zI)\) et \(z \mapsto q(A-zI)\) sont polynomiales de degré \(2\), avec le même coefficient de \(z^2\) et les mêmes racines, donc sont égales d’où \(q=\det\).

Remarque : le même raisonnement est applicable sur un corps quelconque en se limitant aux matrices triangulaires, et toute matrice est produit de triangulaires (algorithme du pivot de Gauss).

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