(a) Soit \(\varphi: \mathbb{F}_p^n \rightarrow \mathbb{F}_p^m\) un morphisme de groupes. Pour tout \(n\in \Z\), on note \(\overline n \in \Z/p\Z = \mathbb{F}_p\) sa classe modulo \(p\). Tout élément \(\overline x \in \mathbb{F}_p^n\) peut s’écrire \(\overline x=(\overline{x_1},\ldots, \overline{x_n})\) avec \(x=(x_1,\ldots,x_n) \in \Z^n\). On a alors \(\varphi(\overline n \cdot \overline x)= \varphi (\overline{nx}) = \varphi (n \overline x) = n\varphi (\overline x) = \overline n \cdot \varphi (\overline x)\). Le morphisme \(\varphi\) est donc compatible avec les lois externes de \(\mathbb{F}_p^n\) et \(\mathbb{F}_p^m\). Comme il est aussi additif, c’est une application \(\mathbb{F}_p\)-linéaire.

(b) Considérons l’application \(V:\hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z) \rightarrow \Z/p\Z\) qui à tout automorphisme \(\chi\) associe \(\chi (1)\). Cette application est à valeurs dans \(\Z/p\Z \setminus \{0\}\) (si \(\chi \in \hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z)\), alors \(\hbox{\rm ker}(\chi)=\{0\}\)). C’est un morphisme de \(\hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z)\) muni de la composition vers le groupe multiplicatif \(\Z/p\Z \setminus \{0\} = \mathbb{F}_p^\times\): en effet si \(\chi, \chi^\prime \in \hbox{\rm Aut}(\Z/p\Z)\) et si on pose \(\chi^\prime (1)=\overline c\) (classe de \(c\in \Z\) modulo \(p\)), alors \((\chi \circ \chi^\prime) (1) = \chi(\overline c) = c \chi (1)= \overline c \cdot \chi(1) = \chi^\prime(1) \cdot \chi(1) = \chi(1) \cdot \chi^\prime(1)\). Ce morphisme \(V\) est de plus injectif puisque tout automorphisme \(\chi\) de \(\Z/p\Z\) est déterminé par \(\chi(1)\). Enfin, pour tout \(\overline a\in \Z/p\Z\) non nul, la correspondance \(\overline n \rightarrow \overline a \cdot \overline n\) induit un automorphisme \(\chi\) de \(\Z/p\Z\) tel que \(\chi(1)=\overline a\). L’image du morphisme \(V\) est donc tout \(\mathbb{F}_p^\times\). Ce qui établit l’isomorphisme demandé.

(c) D’après la question (a), il s’agit de compter le nombre d’automorphismes linéaires du \(\mathbb{F}_p\)-espace vectoriel \(\mathbb{F}_p^n\), qui est égal au nombre de bases de \(\mathbb{F}_p^n\), c’est-à-dire \((p^n-1)(p^n-p)\cdots (p^n -p^{n-1})\).

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