Soit \(k\) un corps de caractéristique différente de \(2\). Soit \(E\) un \(k\)-espace vectoriel de dimension \(n\geq 2\) et \(\phi\) une forme sesquilinéaire non dégénérée sur \(E\) symétrique, hermitienne ou alternée. Soit \(\tau\) une transformation de \(E\) donnée à l’aide d’une forme linéaire non nulle \(f\) sur \(E\) et un vecteur \(a\) de \(Ker f\) par \(\forall x\in E, \tau (x)=x+f(x)a\).
Déterminer la nature de \(\tau\).
On suppose désormais que \(\tau\) est une isométrie relativement à \(\phi\). Montrer que \(a\) est isotrope.
Montrer que \(f\) et \(\phi (\cdot , a)\) sont proportionnelles. On notera \(\lambda\in k^\star\) tel que \(f=\lambda\phi (\cdot , a)\).
Montrer que si \(\sigma\not =Id\) et \(\phi\) est hermitienne ou symétrique, alors \(\lambda +\sigma (\lambda)=0\).
Montrer qu’il n’existe pas de transvections orthogonales, qu’il existe des transvections unitaires si et seulement si l’indice est plus grand que \(1\) et qu’il existe toujours des transvections symplectiques.