On trouve en utilisant la relation \(\vec{NP'}\parallel\vec{NP}\) que la projection stéréographique depuis le pôle nord sur le plan équatoriale est donnée par \[\begin{array}{ccc} p : S^2&\to&\Rr^2\\\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}&\mapsto&\begin{pmatrix}\frac{x}{1-z}\\ \frac{y}{1-z}\\0\end{pmatrix} \end{array}\]

et la réciproque \[\begin{array}{ccc} F : \Rr^2&\to&S^2\\\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&\mapsto& \begin{pmatrix} \frac{2x'}{(x')^2+(y')^2+1}\\ \frac{2y'}{(x')^2+(y')^2+1}\\1-\frac{2}{(x')^2+(y')^2+1}\end{pmatrix} \end{array}\] En particulier, la différentielle du paramétrage \(F\) au point de paramètres \((0,0)\) est \[\begin{array}{cccc} dF(0,0) : &T_{(0,0)}\Rr^2&\to&S_S^2\\ &\begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix}&\mapsto& \begin{pmatrix} 2X'\\ 2Y'\\0\end{pmatrix} \end{array}\] n’est ni une isométrie, ni de déterminant \(+/-1\). La projection stéréographique ne conserve donc ni les longueurs, ni les aires. Par contre, la différentielle du paramétrage \(F\) au point de paramètres \((x',y')\) est \[\begin{array}{cccc} dF(x',y') :& T_{(x',y')}\Rr^2&\to&TS^2\\ & \begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix}&\mapsto& \begin{pmatrix} 2\frac{-(x')^2+(y')^2+1}{((x')^2+(y')^2+1)^2}X'-4\frac{x'y'}{((x')^2+(y')^2+1)^2}Y' \\ -4\frac{x'y'}{((x')^2+(y')^2+1)^2}X'+ 2\frac{(x')^2-(y')^2+1}{((x')^2+(y')^2+1)^2}Y'\\ 4\frac{x'}{((x')^2+(y')^2+1)^2}X'+4\frac{y'}{((x')^2+(y')^2+1)^2}Y'\end{pmatrix} \end{array}\] On vérifie alors que \[\left\| dF(x',y')\begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix}\right\|^2=\frac{4\left\|\begin{pmatrix}X'\\Y'\end{pmatrix}\right\|^2}{(x')^2+(y')^2+1}.\] Donc, \(dF(x',y')\) conserve les angles.

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