Voici une solution dans une configuration générique.

Commençons par analyser le problème. On suppose que \(ABCD\) est direct et que \(E\in [AB]\), \(F \in [BC]\) etc. Considérons la rotation de centre \(O\) (le centre du carré), et d’angle \(\pi/4\). L’image du segment \([EG]\) est un segment \([E'G']\), que l’on suppose distinct de \([FH]\). En fait, on suppose pour simplifier \(E'\neq F\). Considérons alors la translation de vecteur \(\overrightarrow{E'F}\). Elle envoie \(G'\) sur un point \(G''\) appartenant à la droite \((DA)\). Si on suppose que ce point est différent de \(H\), alors on a \((DA) = (G''H)\).

Voici comment obtenir le point \(G''\). On construit la perpendiculaire à \((EG)\) passant par \(F\), et sur cette droite, on place le point \(G''\) tel que \(FG''=EG\) et \((\overrightarrow{EG},\overrightarrow{FG''}) = \pi/2\). Ceci permet de tracer la droite \((HG'')\) c’est-à-dire \((AD)\).

On projette ensuite les points \(E\) et \(G\) sur cette droite, ce qui donne \(A\) et \(D\). On peut ensuite terminer la construction du carré.

Il existe d’autres solutions qui utilisent le théorème de l’angle au centre.

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