1ère solution. \(V=\displaystyle\iiint_{x^2+ \frac{1}{2}y^2+ \frac{3}{4}z^2+xz\leqslant1}dxdydz\). Or \(x^2+ \frac{1}{2}y^2+ \frac{3}{4}z^2+xz=\left(x+ \frac{z}{2}\right)^2+ \frac{y^2}{2}+ \frac{z^2}{2}\). On pose donc \(u=x+ \frac{z}{2}\), \(v= \frac{y}{\sqrt{2}}\) et \(w= \frac{z}{\sqrt{2}}\).

\(\frac{D(u,v,w)}{D(x,y,z)}=\left| \begin{array}{ccc} 1&0& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}&0\\ 0&0& \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right|= \frac{1}{2}\).

On en déduit que \(\frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}=2\) puis que

\(V=\displaystyle\iiint_{x^2+ \frac{1}{2}y^2+ \frac{3}{4}z^2+xz\leqslant1}dxdydz=\displaystyle\iiint_{u^2+v^2+w^2\leqslant1}\left| \frac{D(x,y,z)}{D(u,v,w)}\right|dudvdw=2\times \frac{4\pi}{3}= \frac{8\pi}{3}\).

2ème solution. Supposons savoir que le volume délimité par l’ellipsoïde d’équation \(\frac{X^2}{a^2}+ \frac{Y^2}{b^2}+ \frac{Z^2}{c^2}=1\) est \(\frac{4}{3}\pi abc\). La matrice de la forme quadratique \((x,y,z)\mapsto x^2+ \frac{1}{2}y^2+ \frac{3}{4}z^2+xz\) dans la base canonique orthonormée de \(\Rr^3\) est \(A=\left( \begin{array}{ccc} 1&0& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{2}&0\\ \frac{1}{2}&0& \frac{3}{4} \end{array} \right)\). On sait que cette matrice a \(3\) valeurs propres strictement positives \(\lambda= \frac{1}{a^2}\), \(\mu= \frac{1}{b^2}\) et \(\nu= \frac{1}{c^2}\) puis qu’il existe une base orthonormée dans laquelle l’ellipsoïde a pour équation \(\frac{X^2}{a^2}+ \frac{Y^2}{b^2}+ \frac{Z^2}{c^2}=1\). Le volume de l’ellipsoïde est alors

\(V= \frac{4}{3}\pi abc= \frac{4}{3} \frac{\pi}{\sqrt{\lambda\mu\nu}}= \frac{4}{3} \frac{\pi}{\sqrt{\text{det}(A)}}= \frac{4}{3} \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{1}{4}}}= \frac{8\pi}{3}\)

\(V= \frac{8\pi}{3}\).

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