(9 points) Soit \(A\) la matrice de \(M_3(\R)\) suivante : \[A=\begin{pmatrix}1&0&1 \\ -1&2&1 \\ 1&-1&1\end{pmatrix}\]
1
Démontrer que les valeurs propres de \(A\) sont \(1\) et \(2\).
2
Déterminer les sous-espaces propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?
3
Déterminer les sous-espaces caractéristiques de \(A\).
4
Déterminer une base de \(\R^3\) dans laquelle la matrice de l’endomorphisme associé à \(A\) est \[B=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{pmatrix}\] En déduire la décomposition de Dunford de \(B\).
5
Résoudre le système différentiel
\[\left\{\begin{aligned}x'&=x+z \\ y'&=-x+2y+z \\ z'&=x-y+z\end{aligned}\right.\]