Soit \(A_n\) la matrice de l’énoncé.

En développant \(\mbox{det}A_n\) suivant sa première colonne puis en développant le déterminant de format \(n-1\) obtenu suivant sa première ligne, on obtient \(\mbox{det}A_n=-\mbox{det}A_{n-2}\) pour \(n\geq3\).

Par suite, pour \(p\geq1\), \(\mbox{det}A_{2p}=(-1)^{p-1}\mbox{det}A_2=(-1)^p\neq0\) et pour \(p\geq1\), \(A_{2p}\) est inversible.

On a aussi, pour \(p\geq1\), \(\mbox{det}A_{2p+1}=(-1)^{p-1}\mbox{det}A_3=0\) et, pour \(p\geq1\), \(A_{2p+1}\) n’est pas inversible. Finalement, \(A_n\) est inversible si et seulement si \(n\) est pair.

Dorénavant, on pose \(n=2p\) (\(p\geq1\)).

Pour \(X=(x_i)_{1\leq i\leq n}\) et \(Y=(y_i)_{1\leq i\leq n}\) vecteurs colonnes donnés, on a :

\[AX=Y\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} x_2=y_1\\ \forall i\in\{2,...,2p-1\},\;x_{i-1}+x_{i+1}=y_i\\ x_{2p-1}=y_{2p} \end{array} \right..\]

Ce système se résoud en \(x_2=y_1\) puis, par récurrence, pour \(k\leq p\), \(x_{2k}=y_{2k-1}-y_{2k-3}+...+(-1)^{k-1}y_1\) et aussi \(x_{2p-1}=y_{2p}\), puis, par récurrence, pour \(k\leq p\), \(x_{2k-1}=y_{2k}-y_{2k+2}+...+(-1)^{p-k}y_{2p}\). D’où l’inverse de \(A\) quand \(n=8\) par exemple :

\[A^{-1}= \left( \begin{array}{cccccccc} 0&1&0&-1&0&1&0&-1\\ 1&0&0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0&-1&0&1\\ -1&0&1&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&1&0&-1\\ 1&0&-1&0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0&0&1\\ -1&0&1&0&-1&0&1&0 \end{array} \right).\]

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