Le dl de \(\cos x\) en \(0\) à l’ordre \(6\) est : \[\cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!} x^6 + o(x^6).\]

Calculons celui de \(\frac{1+ax^2}{1+bx^2}\) :

\[\begin{align*} \frac{1+ax^2}{1+bx^2} & = (1+ax^2) \times \frac{1}{1+bx^2} \\ & = (1+ax^2)\times \big(1-bx^2+b^2x^4-b^3x^6+o(x^6) \big) \quad \text{ car } \frac{1}{1+u} = 1-u+u^2 - u^3+o(u^3) \\ &= \ \ \cdots \qquad \text{ on développe } \\ &= 1 + (a-b) x^2 - b(a-b) x^4 + b^2(a-b) x^6 + o(x^6) \\ \end{align*}\]

Notons \(\Delta(x) = \cos x - \frac{1+ax^2}{1+bx^2}\) alors \[\Delta(x) = \big(-\frac12-(a-b)\big)x^2 + \big(\frac{1}{24} + b(a-b)\big) x^4 + \big(-\frac{1}{720}-b^2(a-b)\big) x^6 + o(x^6).\]

Pour que cette différence soit la plus petite possible (lorsque \(x\) est proche de \(0\)) il faut annuler le plus possible de coefficients de bas degré. On souhaite donc avoir \[-\frac12-(a-b) = 0 \qquad \text{et} \qquad \frac{1}{24} + b(a-b)=0.\] En substituant l’égalité de gauche dans celle de droite on trouve : \[a=-\frac{5}{12} \qquad \text{et} \qquad b=\frac{1}{12}.\]

On obtient alors \[\Delta(x) = \big(-\frac{1}{720}-b^2(a-b)\big) x^6 + o(x^6) = \frac{1}{480} x^6 + o(x^6).\]

Avec notre choix de \(a,b\) nous avons obtenu une très bonne approximation de \(\cos x\). Par exemple lorsque l’on évalue \(\frac{1+ax^2}{1+bx^2}\) (avec \(a=-\frac{5}{12}\) et \(b=\frac{1}{12}\)) en \(x=0.1\) on trouve : \[0.9950041631\ldots\] Alors que \[\cos(0.1)=0.9950041652\ldots\] En l’on trouve ici \(\Delta(0.1) \simeq 2\times 10^{-9}\).

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