La suite \((u_n)\) est strictement croissante, en effet \(u_{n+1}-u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0\). La suite \((v_n)\) est strictement décroissante : \[v_{n+1}-v_n = u_{n+1}-u_n + \frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{n!}= \frac{1}{(n+1)!}+ \frac{1}{(n+1)!}-\frac{1}{n!}= \frac{1}{n!}(\frac 2n-1).\] Donc à partir de \(n\geq 2\), la suite \((v_n)\) est strictement décroissante. Comme \(u_n \leq v_n \leq v_2\), alors \((u_n)\) est une suite croissante et majorée. Donc elle converge vers \(\ell \in \Rr\). De même \(v_n \geq u_n \geq u_0\), donc \((v_n)\) est une suite décroissante et minorée. Donc elle converge vers \(\ell' \in \Rr\). De plus \(v_n -u_n = \frac1{n!}\). Et donc \((v_n-u_n)\) tend vers \(0\) ce qui prouve que \(\ell=\ell'\). Supposons que \(\ell \in \Qq\), nous écrivons alors \(\ell = \frac pq\) avec \(p,q \in \Nn\). Nous obtenons pour \(n\geq 2\): \[u_n \leq \frac pq \leq v_n.\] Ecrivons cette égalité pour \(n=q\): \(u_q \leq \frac pq \leq v_q\) et multiplions par \(q!\): \(q! u_q \leq q!\frac pq \leq q! v_q\). Dans cette double inégalité toutes les termes sont des entiers ! De plus \(v_q = u_q +\frac 1{q!}\) donc: \[q! u_q \leq q! \frac pq \leq q! u_q + 1.\] Donc l’entier \(q! \frac pq\) est égal à l’entier \(q! u_q\) ou à \(q! u_q + 1 = q! v_q\). Nous obtenons que \(\ell = \frac pq\) est égal à \(u_q\) ou à \(v_q\). Supposons par exemple que \(\ell = u_q\), comme la suite \((u_n)\) est strictement croissante alors \(u_q < u_{q+1} < \cdots < \ell\), ce qui aboutit à une contradiction. Le même raisonnement s’applique en supposant \(\ell = v_q\) car la suite \((v_n)\) est strictement décroissante. Pour conclure nous avons montré que \(\ell\) n’est pas un nombre rationnel.

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