Pour déterminer le domaine de définition d’une fonction, on détermine toutes les conditions d’existence (racine, dénominateur, logarithme,...). On conclut ensuite.

Pour la fonction \(f\), nous avons deux conditions :

\(\sqrt{2x+1}\) n’est défini que si \(2x+1\geq 0\) soit \(x\geq -\frac{1}{2}\).
Le quotient n’a un sens que si \(x^2+5x+6\neq 0\). Le discriminant de ce trinôme vaut \(\Delta=1\). Ce trinôme possède donc deux racines : \(x_1=\frac{-5-1}{2}=-3\) et \(x_2=\frac{-5+1}{2}=-2\). Il faut donc également que \(x\neq -2\) et \(x\neq -3\).

Bilan : la fonction \(f\) est donc définie sur \(\left[-\frac{1}{2};+\infty\right[\).

Pour la fonction \(g\), celle-ci n’est définie que si \(2x^2+2x-12>0\). Le discriminant de ce trinôme vaut \(\Delta=100\). Le trinôme possède donc deux racines, \(x_1=\frac{-2-10}{4}=-3\) et \(x_2=\frac{-2+10}{4}=2\). Ainsi, nous avons le tableau de signes suivant : \[\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x & -\infty & & -3 & & 2 & & \\\hline 2x^2+2x-12 & & + & 0 & - & 0 & + & \\\hline \end{array}\] Ainsi, \[\mathcal{D}_g=]-\infty; -3[ \cup ] 2;+\infty[\]

Des domaines de définitions