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Soit \(X=[a,b]\) et on se donne une métrique \(d\) sur \(X\) telle que la topologie définie par \(d\) est moins fine sur \(X\) que la topologie usuelle. Montrer que tout sous-ensemble de \(X\) compact pour la topologie usuelle est aussi compact pour la topologie définie par \(d\); puis montrer cette propriété pour les fermés.
En déduire que la topologie définie par \(d\) est la topologie usuelle.