Soit \((u_n)\) une suite convergeant vers \(\ell \in \Rr\). Par définition \[\forall \epsilon > 0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall n\geqslant N \qquad |u_n-\ell| < \epsilon.\] Choisissons \(\epsilon = 1\), nous obtenons le \(N\) correspondant. Alors pour \(n\geqslant N\), nous avons \(|u_n-\ell| < 1\) ; autrement dit \(\ell -1 < u_n < \ell + 1\). Notons \(M = \max_{n=0,\ldots,N-1} \{u_n\}\) et puis \(M' = \max (M,\ell+1)\). Alors pour tout \(n \in \Nn\) \(u_n \leq M'\). De même en posant \(m = \min_{n=0,\ldots,N-1} \{u_n\}\) et \(m' = \min(m,\ell -1)\) nous obtenons pour tout \(n\in \Nn\), \(u_n \geq m'\).

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