Soit \(\omega=3x dx + (x+y) dy\) la forme différentielle naturellement associée à \(\vec{V}(x,y)\) et considérons \(x=\cos t\) et \(y=\sin t\) comme paramétrage du cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\) (avec \(t\in [0;2\pi]\)). Il s’ensuit que la circulation \(\int_{C} \vec{V}.\vec{dl}\) n’est autre que : \[\int_{C} \vec{V}.\vec{dl}= \int_{C} w =\int_0^{2\pi} (3\cos t (-\sin t) + (\cos t +\sin t) \cos t)dt.\] Comme \(\cos^2t= \frac{\cos(2t)+1}{2}\), on obtient : \[\int_{C} \vec{V}.\vec{dl}= \int_{0}^{2\pi} (-2\sin t\cos t + \frac{\cos (2t)+1}{2}) dt = [\cos^2(t)+ \frac{1}{4}\sin(2t) +\frac{t}{2}]_0^{2\pi}=\pi.\] Remarquons que si la forme \(\omega\) avait été exacte, on aurait obtenu \(\int_{C} \vec{V}.\vec{dl}=0\) comme réponse, puisque l’intégrale curviligne d’une forme exacte sur une courbe fermée est nulle.

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